南京大学年数学分析考研试题及解答(南京大学数学分析真题)

1、南京大学2001年数学分析考研试题.一、 求下列极限1) 设求;2) ;3) 设试求4) 设在内可导,且令,试证明存在有限二、 设令1) 讨论2) 求三、 设试证明对一切,成立四、 求下列积分1) 计算反常积分;2) 计算曲面积分,其中为锥面那部分的外侧。五、 求在处的幂级数展开式,并计算之值六、 设,.1) 证明级数绝对收敛;2) 求级数之和.七、 设,其中满足不等式.1) 讨论含参变量积分在区域上的一致收敛性;2) 求在区域上的最小值.南京大学2001年数学分析考研试题的解答一、 1、解 易知,是压缩迭代序列,所以存在,设,则有,所以。2、解 令,则有;由,得 。3、解 在上连续,对任何,

2、 因为,由此,即得, .4、解 由题设条件,得 ,由此即可知是一个基本列,所以存在且有限。二、由于在上有二阶连续导数, 所以,在上连续;有;所以在处连续. 显然在处连续. 故在上连续. 在处, ;(2)当时, , .由于和连续, 故当时, 存在且连续. 而且, 在处连续, 进而在上连续.三、假设在上可导,且,证明 ,.证明 令, , 因,所以 , 令,则,即得, 所以, 则,于是 , . 四、(1)计算,.解 因为 ,所以,由于及收敛,根据魏尔斯特拉斯判别法,得在上一致收敛,又在上连续,所以积分可交换次序,即 ;故 ,任何实数.特别地 。(2)解 (由于不是封闭曲面,需要补充一部分曲面,构成一个封闭曲面.)区域:,边界,方向朝区域外.,方向朝上;显然,利用高斯公式,得,再由 ,得出 .五、解 ,因为,所以,显然在上一致收敛, 。六、证明 令,则有,在上是严格递减的;当时,;当时,;若,则有显然,;将代入,得,由,得单调递减,单调递增,设,在,中,令取极限,得,从而有,故 .,;,其中位于与之间,于是存在正整数,当时,成立,其中常数,由此而来,可知级数收敛,故级数绝对收敛;若,则有,此时结论显然可得;若,则有,然后就与上面的情况类似了。七、 解 (1)等价于,于是有 ,设,则有,显然是收敛的,于是在区域上是一致收敛的;(2), 在区域上的
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