(考研和期末必备)—线性代数常识汇总_部队式(考研政治必备书籍)

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1. 线性代数常识图谱

线性代数是代数学的一个分支,首要处置线性联络疑问。线性联络意即数学目标之间的联络是以一次方法来表达的。例如,在解析几许里,平面上直线的方程是二元一次方程;空间平面的方程是三元一次方程,而空间直线视为两个平面相交,由两个三元一次方程所构成的方程组来标明。富含 n个不知道量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性联络疑问简称线性疑问。解线性方程组的疑问是最简略的线性疑问。

线性(linear)指量与量之间按比例、成直线的联络,在数学上可以了解为一阶导数为常数的函数

非线性(non-linear)则指不按比例、不成直线的联络,一阶导数不为常数。

部队式非零

矩阵可逆

方阵满秩

向量组满秩(向量个数等于维数)。

2. 部队式

2.1 界说

矩阵的部队式,determinate(简称det),是根据矩阵所包括的部队数据核算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。

2.2 二阶部队式

核算方法:对角线规则

2.3 三阶部队式

核算方法:对角线规则

2.4 n阶部队式2.4.1 核算摆放的逆序数

2.4.2 核算n阶部队式

2.4.3 简化核算总结

2.4.4 部队式的3种标明办法

2.5 部队式的性质

性质1部队式与它的转置部队式相等

注:部队式中行与列具有平等的方位,部队式的性质但凡对行树立的对列也相同树立.

性质2交换部队式的两行(列),部队式变号

推论假定部队式有两行(列)完全相同,则此部队式为零

性质3部队式的某一行(列)中一切的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k乘以此部队式.

推论部队式的某一行(列)中一切元素的公因子可以说到部队式符号的外面.

性质4部队式中假定有两行(列)元素成比例,则此部队式为零.

性质5若部队式的某一列(行)的元素都是两数之和,则等于对应的两个部队式之和.

性质6把部队式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去,部队式不变.

2.6 核算部队式的办法

1)使用界说

2)使用性质把部队式化为上三角形部队式,然后算得部队式的值

定理中包括着三个结论:

1)方程组有解;(解的存在性)

2)解是仅有的;(解的仅有性)

3)解可以由公式(2)给出.

定理4假定线性方程组(1)的系数部队式不等于零,则该线性方程组必定有解,而且解是仅有的 .

定理4′假定线性方程组无解或有两个不一样的解,则它的系数部队式必为零.

齐次线性方程组的有关定理

定理5假定齐次线性方程组的系数部队式d不等于0,则齐次线性方程组只需零解,没有非零解.

定理5′假定齐次线性方程组有非零解,则它的系数部队式必为零.

1. 用克拉默规则解线性方程组的两个条件

1) 方程个数等于不知道量个数;

2) 系数部队式不等于零.

2. 克拉默规则的意义首要在于树立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的联络.它首要适用于理论推导.

2.8 部队式按行(列)打开对角线规则只适用于二阶与三阶部队式.

本节首要思考如何用低阶部队式来标明高阶部队式.

3. 矩阵

3.1 矩阵的界说

3.1.1 矩阵与部队式的差异

3.2 特别矩阵

3.3 矩阵与线性改换

3.4 矩阵的运算3.4.1 矩阵的加法

部队式与矩阵加法的比照:

3.4.2 数乘矩阵

3.4.3 矩阵与矩阵相乘

3.4.4 矩阵的转置

对立称矩阵(skew symmetric matrix)

3.4.5 方阵的部队式

3.4.6 伴随矩阵

3.4.7 共轭矩阵

3.5 可逆矩阵(或称非独特矩阵)

3.6 矩阵分块法

分块矩阵不只方法前进行转置,而且每一个子块也进行转置.

4. 矩阵的初等改换与线性方程组

4.1 矩阵的初等改换

4.2 矩阵之间的等价联络

4.3 初等改换与矩阵乘法的联络

4.4 矩阵的秩

4.5 线性方程组的多解

5. 向量组的线性有关性

5.1 向量组及其线性组合

5.2 向量组的线性有关性

5.3 向量组的秩

结论:矩阵的最高阶非零子式一般不是仅有的,但矩阵的秩是仅有的.

5.4 线性方程组的解的规划

疑问:啥是线性方程组的解的规划?

答:所谓线性方程组的解的规划,就是当线性方程组有无限多个解时,解与解之间的彼此联络.

补白:

1)当方程组存在仅有解时,无须谈论解的规划.

2)下面的谈论都是假定线性方程组有解.

5.5 向量空间5.5.1 关闭的概念

界说:所谓关闭,是指集结中任意两个元素作某一运算得到的成果仍归于该集结.

5.5.2 向量空间的概念

界说:设 v 是 n 维向量的集结,假定

① 集结 v 非空,

② 集结 v 关于向量的加法和乘数两种运算关闭,

具体地说,就是:

若 a ∈ v, b ∈ v,则a + b ∈ v .(对加法关闭)

若 a ∈ v, l ∈ r,则 l a ∈ v .(对乘数关闭)

那么就称集结 v 为向量空间.

5.5.3 子空间的概念

界说:假定向量空间 v 的非空子集结 v1 关于 v 中所界说的加法及乘数两种运算是关闭的,则称 v1 是 v 的子空间.

5.5.4 向量空间的基的概念

6. 类似矩阵及二次型

6.1 向量的内积、长度及正交性6.1.1 向量的内积

6.1.2 向量的长度或范数单位向量:长度为1的向量。

6.1.3 向量的正交性

向量正交:向量内积为0。

6.1.4 正交矩阵或正交阵

6.1.5 正交矩阵的性质

6.2 方阵的特征值与特征向量

6.2.1 正定矩阵/半正定矩阵

1)矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于等于零(>=0)。

2)矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零(>0)。

6.3 类似矩阵

6.4 对称矩阵的对角化

6.5 二次型及其它标准型

来历:csdn

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